Question

2．我们给出如下定义：两个图形G₁和G₂，对于G₁上的任意一点P（x₁，y₁）与G₂上的任意一点Q（x₂，y₂），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“最佳线段”．
（1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为最佳线段，那么PQ的长为$\sqrt{5}$；
（2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上；
①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，最佳线段PQ的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），最佳线段PQ的长满足0≤PQ≤$\sqrt{2}$，在图3中画出示意图，写出m的取值范围；
（3）有⊙M，圆心为（a，0），半径为2，点P在⊙M上，点Q在（2）中的射线EF上，最佳线段PQ的长满足0≤PQ≤1时，画出示意图，写出 a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，可得当P与点A重合，Q与点D重合时，PQ最小，然后利用勾股定理求得答案；
（2）①首先过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长，易得△OEF是等腰直角三角形，则可求得答案；
②当AB在射线EF的左侧时，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长，当AB在射线EF的左侧时，A′E的长即为PQ的长，然后分别求得即可求得答案；
（3）首先根据题意画出图形，分别从当⊙A的圆心A在射线EF的左侧时，过点A作AM⊥EF于点M，交⊙A于点N，则MN的长即是PQ的长，当⊙A的圆心A在射线EF的左侧时，N′E的长即为PQ的长，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，
∴当P与点A重合，Q与点D重合时，PQ最小，
∵OP=OA=1，OQ=OD=2，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴最佳线段$PQ=\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$；

（2）①如图2，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长，
∵射线EF（E（4，0），F（0，4）），
∴OE=OF=4，
∴∠OEF=45°，
∵BE=4-3=1，
∴PQ=BM=BE•cos45°=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

②如图3，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长，
∵BM=PQ=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\frac{BM}{sin45°}$=2，
∴AE=AB+BE=4，
∴OA=0，
即m=0；
当AB在射线EF的左侧时，A′E的长即为PQ的长，
∴OA′=4+$\sqrt{2}$，
∴m=4+$\sqrt{2}$；
∴m的取值范围为：$0≤m≤4+\sqrt{2}$；

（3）如图4，当⊙A的圆心A在射线EF的左侧时，过点A作AM⊥EF于点M，交⊙A于点N，则MN的长即是PQ的长，
∵0≤PQ≤1，
∴AM=AN+MN=2+1=3，
∴AE=$\frac{AM}{sin45°}$=3$\sqrt{2}$，
∴a=4-3$\sqrt{2}$；
当⊙A的圆心A在射线EF的左侧时，N′E的长即为PQ的长，
∴a=OA′=OE+EN′+A′N′=4+1+2=7；
∴a的取值范围为：$4-3\sqrt{2}≤a≤7$．

点评 此题属于新定义性题目．考查了圆的性质、勾股定理以及等腰直角三角形性质．注意准确做出图形，利用分类讨论思想求解是关键．