Question

正方形ABCD，EFGH边长分别是和，它们的中心O，D在直线l上，AD∥l，EG在直线l上l与DC相交于点M，ME=7-2，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕Q₁以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（1）求开始运动前Q₁Q₂的长度；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，求此时AE和Q₁Q₂的长度；
（3）两个正方形经历（2）的运动后，正方形ABCD停止旋转，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD与正方形EFGH边长分别是4和2，它们的中心O，
∴O₁M=AD=×4=2，EG=EH=4，
∴EO₂=EG=2，
∵ME=7-2，
∴Q₁Q₂=O₁M+ME+EO₂=2+7-2+2=9；

（2）∵正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕Q₁以每秒45°顺时针方向开始旋转，
∴当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，如图：
∴Q₁Q₂=9-3=6，
∵AC=AD=8，
∵O₁A=AC=×8=4，
∴AE=Q₁Q₂-O₁A-O₂E=6-4-2=0；

（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形．
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当0≤x＜4时，
∵EA=x，
∴y与x之间的函数关系式为y=．
②如图2，当4≤x＜8时，y与x之间的函数关系式为y=（2 ）²=8．

③如图3，当8≤x＜12时，
∵CG=12-x，
∴y与x之间的函数关系式为y==x²-12x+72．
④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y=0．
分析：（1）开始运动前Q₁O₂=O₁M+ME+O₂E，O₁M=AD=2 ，O₂E=EH=2，即可求得O₁O₂的值．
（2）当运动3秒后，A在直线l上，O₁A=AD=4，O₁E=7-3=4，因此O₁E=O₁A，A、E重合，即AE=0．O₁O₂=O₁A+O₂E=4+2=6．
（3）本题要分四种情况：
①当0≤x＜4时，图1，重合的小正方形对角线AE=x，因此y=x²．
②当4≤x＜8时，图2，正方形EFGH在正方形ABCD内部，重合部分的面积就是正方形EFGH的面积．
③当8≤x＜12时，图3，参照①的解法．
④当x≥12时，此时两正方形不重合，因此y=0．
点评：本题为运动性问题，考查了正方形的性质、图形的旋转、二次函数的应用等知识．综合性强，难度较大，解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合的数学思想的应用．