Question

如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（I）求证：DE为⊙O的切线；
（II）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接圆心和切点，只要证得∠ODB=90°即可．
（2）应得到DE所在的三角形的一条线段的长和一个角的度数，利用三角函数求解即可．

解答：（I）证明：连接AD，连接OD；
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．

（II）解：∵在等腰△ABC中，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵⊙O的半径为5，
∴AB=BC=10，CD=

1

2

BC=5．
∴DE=CD•sin60°=

5 3

2

．

点评：连接圆心和切点，做直径所对的圆周角是常用的辅助线方法；需注意利用直角三角形的三角函数来进行求解．