Question

8．平行四边形ABCD中，AE交BC于点E，交BD于点F，且BE²=EF•EA．求证：AB²=BF•BD．

Answer 1

分析 根据已知条件得到$\frac{BE}{EF}=\frac{AE}{BE}$，由∠BEF=∠AEB，根据相似三角形的判定定理得到△BEF∽△ABE，由相似三角形的性质得到∠BAE=∠EBF，由于∠FBE=∠ADF，等量代换得到∠ADB=∠BAE，于是得到△ABF∽△ADB，即可得到结论．

解答 解：∵BE²=EF•EA，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{AE}{BE}$，
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△ABE，
∴∠BAE=∠EBF，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠FBE=∠ADF，
∴∠ADB=∠BAE，
∴△ABF∽△ADB，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{AB}$，
∴AB²=BF•BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．