Question

9．如图，已知ABC是直角三角形纸片，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E，F分别是AB和AC边上点，连接EF．D是射线CB上的动点，将纸片沿EF折叠，使折叠后点A落在点D处，AD交直线EF于点G．
（1）如图2，当DE∥AC时，试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；
（2）当BD=1时，求AF的长；
（3）设△DFG的面积为S₁，△ACD的面积为S₂，p=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，当$\frac{5}{16}$≤p≤$\frac{1}{3}$时，求CD的变化范围．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得：EF⊥AD，DG=AG，DE=AE，DF=AF，由平行线的性质得出∠DEG=∠AFG，由AAS证明△DEG≌△AFG，得出DE=AF，证出四边形AEDF是平行四边形，即可得出结论；
（2）求出CD=BC-BD=2，设AF=DF=x，则CF=4-x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）设DF=AF=x，则CF=4-x，由折叠的性质得：△DFG的面积=△AFG的面积，当p=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{16}$时，由三角形面积关系求出DF=$\frac{5}{2}$=2.5，CF=1.5，由勾股定理得出CD=2；当p=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{3}$时，求出DF=$\frac{8}{3}$，CF=$\frac{4}{3}$，由勾股定理求出CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；即可得出答案．

解答 解：（1）当DE∥AC时，四边形AEDF是菱形；理由如下：
由折叠的性质得：EF⊥AD，DG=AG，DE=AE，DF=AF，
∵DE∥AC，
∴∠DEG=∠AFG，
在△DEG和△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠AFG}&{\;}\\{∠DGE=∠AGF}&{\;}\\{DG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△AFG（AAS），
∴DE=AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵DE=AE，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）∵BD=1，
∴CD=BC-BD=2，
设AF=DF=x，则CF=4-x，
∵∠ACB=90°，
∴CD²+CF²=DF²，即2²+（4-x）²=x²，
解得：x=2.5，
即AF的长为2.5；
（3）设DF=AF=x，则CF=4-x，
由折叠的性质得：△DFG的面积=△AFG的面积，
当p=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{16}$时，$\frac{x}{4}$=$\frac{10}{16}$=$\frac{5}{8}$，
解得：x=2.5，
∴DF=$\frac{5}{2}$=2.5，CF=1.5，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2；
当p=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{3}$时，$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{3}$，
解得：x=$\frac{8}{3}$，
∴DF=$\frac{8}{3}$，CF=$\frac{4}{3}$，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
∴当$\frac{5}{16}$≤p≤$\frac{1}{3}$时，CD的变化范围为$\frac{5}{2}$≤CD≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．