分析 ①如图1,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,通过证明Rt△BDE≌Rt△CDF,得到∠B=∠C,即可得到结论;
②由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°,由AD2=BD•DC,得到$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$,证得△ABD∽△ACD,根据相似三角形的性质得到∠BAD=∠C,即可得到结论;
③作AE⊥BC于E,根据勾股定理得到AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,再两式相减即可求解;
④利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC,则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA,所以AD:CD=BD:AD,然后根据比例的性质即可得到结论.
解答 解:①如图1,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵点D到AB,AC距离相等,
∴DE=DF,
在Rt△BDE与Rt△CDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
②∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AD2=BD•DC,
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$,
∴△ABD∽△ACD,
∴∠BAD=∠C,
∵∠B+∠BAD=90°,
∴∠C+∠B=90°,
∴∠BAC=90°;
③如图2,作AE⊥BC于E,则
AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,
则AB2-AD2=(AE2+BE2)-(AE2+DE2)=BE2-DE2=(BE+DE)(BE-DE)=BD•DC,
则AD2+BD•DC=AB2,
∵AB=AC,
∴AD2+BD•DC=AC2;
如图3,作AE⊥BC于E,则
AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,
则AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(BE+DE)(DE-BE)=BD•DC,
则AD2-BD•DC=AB2,
∵AB=AC,
∴AD2-BD•DC=AC2;故③错误;
④∵AD⊥BC于点D,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵∠BAD=∠DAC=90°,
∴∠B=∠DAC,
∴Rt△ADB∽Rt△CDA,
∴AD:CD=BD:AD,
∴AD2=CD•BD.
故答案为:①②④.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质和勾股定理,全等三角形的判定和性质,熟练掌握各定理是解题的关键.
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