Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：

AB

AE

=

AC

AD

；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：证明题,压轴题

分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．

解答：证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AB

AE

=

AC

AB

，
又∵AB=AD，
∴

AB

AE

=

AC

AD

；

（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB²=AE•AC，即AB²=x•3x
∴AB=

3

x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2

3

x，
∴∠ACB=30°，
∵F是BC中点，
∴BF=

3

x，
∴BF=AB=AD，
连接AF，则AF=BF=CF∠ACB=30°，∠ABC=60°，
又∵∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
又∵AD=AB，
∴四边形ABFD是菱形．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．