Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，点P在边CD上，将矩形折叠，使点A与点P重合，得折痕EF．
（1）如图，当点P与点C重合时，求AE的长；
（2）如图2，当PC=1时，求AE的长；
（3）如图3，当PC=8时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，设AC，EF交于O，连接CE，根据折叠的性质得到CE=AE根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，设AC，EF交于O，连接AF，根据折叠的性质得到AF=PF，AO=PO，根据全等三角形的性质得到PF=AE，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）连接PF，过E作EH⊥AD于H，根据线段垂直平分线的性质得到EF⊥AP，AO=PO，根据勾股定理得到DF=$\frac{15}{4}$，AP=$\sqrt{A{D}^{2}+P{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，根据相似三角形的性质得到EF=$\frac{5\sqrt{17}}{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，设AC，EF交于O，连接CE，
∵将矩形折叠，使点A与点P重合，得折痕EF．
∴CE=AE
∵∠B=90°，
∴BE²+BC²=CE²，即（10-AE）²+8²=AE²，
∴AE=8.2；

（2）如图2，设AC，EF交于O，连接AF，
∵将矩形折叠，使点A与点P重合，得折痕EF．
∴AF=PF，AO=PO，
∵AB∥CD，
∴∠PFO=∠AEO，
在△PFO与△AEO中$\left\{\begin{array}{l}{∠PFO=∠AEO}\\{∠POF=∠AOE}\\{AO=PO}\end{array}\right.$，
∴△PFO≌△AEO，
∴PF=AE，
在Rt△ADE中，AD²+DF²=AF²，即8²+（10-1-AE）²=AE²，
∴AE=$\frac{145}{18}$；

（3）连接PF，过E作EH⊥AD于H，
∵∵将矩形折叠，使点A与点P重合，得折痕EF．
∴EF⊥AP，AO=PO，
∴PF=AF，
∴PF²=PD²+DF²，即（8-DF）²=2²+DF²，
∴DF=$\frac{15}{4}$，
∴PF=$\frac{17}{4}$，
∵AP=$\sqrt{A{D}^{2}+P{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴OP=AO=$\sqrt{17}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∵∠EHF=∠POF=90°，∴∠FPO=∠FEH，
∴△POF∽△EHF，
∴$\frac{EF}{PF}=\frac{EH}{OP}$，即$\frac{EF}{\frac{17}{4}}$=$\frac{10}{\sqrt{17}}$，
∴EF=$\frac{5\sqrt{17}}{2}$，
∴OE=$\frac{9\sqrt{17}}{4}$，
∴AE=$\sqrt{A{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{1649}}{4}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，主要利用了翻折前后对应线段相等，难点在于利用勾股定理列出方程．