Question

两条平行直线上各有n个点，用这n个点按如下规则连接线段：
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出．
图（1）展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图（2）展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．试回答下列问题：
（I）当n=3时，请在图（3）中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是

4

；
（II）试猜想当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有

2（n-1）

个三角形；
（III）当n=2012时，按上述规则画出的图形中，最少有

4022

个三角形．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，根据图形数出三角形个数即可得出答案；
（2）分析可得，当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0=2（1-1）；当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2=2（2-1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n-1）个三角形；
（3）当n=2012时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2012-1）=4022个三角形．

解答：解：（1）

此时图中三角形的个数是：4个；
故答案为：4．

（2）当有n对点时，最少可以画2（n-1）个三角形；
故答案为：2（n-1）；

（3）2×（2012-1）=4022个．
当n=2012时，最少可以画4022个三角形．
故答案为：4022．

点评：此题考查了图形的规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．