分析 (1)连接AC,由勾股定理求出BH=4,得出CH=4,由勾股定理求出CA,当⊙C经过点A时,CP=CA=5;
(2)先证明四边形APCE是平行四边形,得出CP=CE,证出四边形APCE是菱形,得出PA=CP,设PA=CP=x,则PH=4-x,由勾股定理得出方程,解方程求出半径;作CM⊥EF于M,则CM=AH=3,由垂径定理得出ME=MF=$\frac{1}{2}$EF,由勾股定理求出ME,即可得出EF的长.
解答 解:(1)连接AC,如图1所示:
∵AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHC=90°,
∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
∴CH=BC-BH=4,
∴CA=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=5,
当⊙C经过点A时,CP=CA=5;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,当AP∥CE时,四边形APCE是平行四边形,
∵CP=CE,
∴四边形APCE是菱形,
∴PA=CP,
设PA=CP=x,则PH=4-x,
在Rt△APH中,
由勾股定理得:AH2+PH2=PA2,
即32+(4-x)2=x2,
解得:x=$\frac{25}{8}$,
即⊙C的半径为$\frac{25}{8}$;
作CM⊥EF于M,如图2所示:
则CM=AH=3,ME=MF=$\frac{1}{2}$EF,
在Rt△CEM中,由勾股定理得:
ME=$\sqrt{C{E}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{25}{8})^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$,
∴EF=2ME=$\frac{7}{4}$.
点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、平行四边形的判定方法、菱形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度.
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