Question

5、已知如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₂O₁，O₁O₂的延长线分别交⊙O₁于点C，交⊙O₂于点F，CA、CB的延长线交⊙O₂于D、E，连接EF、DF．求证：DF=EF．

Answer 1

分析：可通过证三角形CDF和CEF来求解．已知的条件只有一条公共边，那么我们可连接AB，作O₂M⊥AD，O₂N⊥BE，则CF就垂直平分AB，因此∠DAB=∠ECF，那么根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得出AD弦和BE弦的弦心距就相等，因此AD=BE，则CD=CE至此三角形全等的所有条件就都证出来了．

解答：证明：连接AB，作O₂M⊥AD，O₂N⊥BE，垂足为MN，
∵⊙O_1、⊙O₂相交于A、B，
∴CF垂直平分AB．
∴∠DCF=∠ECF，AC=BC．
∵O₂M⊥AD，O₂N⊥BE，
∴O₂M=O₂N．
∴AD=BE．
∵AC=BC，
∴CD=CE．
∵CF=CF，
∴△CDF≌△CEF．
∴DF=EF．

点评：本题考查了垂径定理，全等三角形的判定等知识点，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．