Question

7．如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°，求C、D之间的距离（结果保留根号）．

Answer 1

分析 由各方向角得出：∠EAD=45°，FBD=30°，又∠DAC=15°，则∠EAC=60°，∠FBC=60°，∠DBC=30°，△ABD是等腰三角形，求得∠ADB的大小，过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，把求CD的问题转化为求DO和CO的问题

解答 解：∵由题意可得∠EAD=45°，∠FBD=30°，
又∵∠DAC=15°，
∴∠EAC=60°，
∵AE∥BF，
∴∠FBC=∠EAB=60°，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDA=∠DBC-∠DAB=30°-15°=15°，
∴∠BDA=∠DAB，
∴AB=DB=2km，
∴∠ADB=15°，
∴∠DBC=∠ADB+∠DAC=15°+15°=30°；
过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=$\sqrt{3}$，BO=2×cos60°=1．
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=DO-CO=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（km）．
即C，D之间的距离$\frac{2\sqrt{3}}{3}$km．

点评 本题是直角三角形的应用，主要考查了方向角的含义，直角三角形、锐角三角函数，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．