Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）试求出抛物线的解析式；
（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q，使得△QAC的周长最小，试求出△QAC的周长的最小值，并求出点Q的坐标；
（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发，在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动，试问，经过几秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因为抛物线经过A、B、C三点，所以用待定系数法设出二次函数的一般式即可求出其解析式．
（2）根据（1）中所得二次函数的解析式可求出其对称轴直线，由二次函数图象上点的坐标特点可知A、B两点关于对称轴直线对称，连接BC，根据三点共线时距离最短可知BC与对称轴的交点即为Q点．
根据B、C两点的坐标可用待定系数法求出B、C两点所在直线的解析式，在与对称轴直线组成方程组，即可求出Q点的坐标．
利用两点间的距离公式即可求出BC的长即△QAC的周长的最小值．
（3）设t秒后△PAC是等腰三角形．利用t表示出P点坐标，根据两点间距离公式，分①PA=CA；②PC=PA；③CP=CA三种情况解答．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故抛物线的解析式为，y=x²-4x+3；

（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x=2于点Q，
可得直线BC：
y=-x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周长为

10

+3

2

．

（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t-1）于是
①当PA=CA时；根据勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（负值舍去）．
②PC=PA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以经过4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒时，△PAC是等腰三角形．

点评：此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，以及利用函数图象和图象上点的性质判断符合某一条件的点是否存在，是一道开放性题目，有利于培养同学们的发散思维能力．