Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，则GF的长为___________

Answer 1

【答案】3

【解析】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．首先证明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根据GE=BG+BE，构建方程求出x即可解决问题．

如图，连接GE，作GH⊥CD于H.则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x2.

∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH，AG=GE=x，

∵∠BAE+∠AGF=90°,∠AGF+∠FGH=90°，

∴∠BAE=∠FGH，

∴△ABE≌△GHF，

∴BE=FH=x2，AE=GF

在Rt△BGE中,∵GE=BG+BE，

∴x=4+(x2) ，

∴x=5，

∴AB=9，BE=3，

在Rt△ABE中,AE=，即GF=.

故答案为：.