Question

10．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁CD的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，若∠A=60°，则∠A₂的度数为15°．

Answer 1

分析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁．

解答 解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×60°=15°，
故答案为15°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$是解题的关键．