Question

13．如图：△ABC中，AB=AC．∠BAC=120°，EF垂直平分AB，EF=2，求AB与BC的长．

Answer 1

分析 根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠C=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BF=2EF，连接AF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角可得∠BAF=∠B，再求出∠CAF=90°，再次利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CF=2AF，易得BC的长，在Rt△AFC中，利用勾股定理可得AC的长，即得AB的长．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°
∵EF为AB的垂直平分线，
∴EF⊥AB，
∴BF=2EF=2×2=4，
连接AF，
∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF=4，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠CAF=120°-30°=90°，
∴CF=2AF=2×4=8，
∴BC=BF+CF=4+8=12，
在Rt△AFC中，
AC=$\sqrt{{CF}^{2}{-AF}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{-4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴AB与BC的长分别为4$\sqrt{3}$和12．

点评 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟记各性质是解题的关键．