Question

1．在平面直角坐标系中，已知两点A（0，4），B（8，2）．
（1）若点P是y轴上的一点，且△ABP的面积是△ABO面积2倍，则点P的坐标为：（0，12）或（0，-4）．
（2）点P是x轴上的一点，求作点P，使PA+PB的值最小．

Answer 1

分析 （1）设P（0，n），根据△ABP的面积是△ABO面积2倍，列方程$\frac{1}{2}$|4-n|×8=2×$\frac{1}{2}$×4×8，即可得到结论；
（2）首先求得点B关于x轴的对称点B′，连接B′A交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．

解答 解：（1）设P（0，n），
∵△ABP的面积是△ABO面积2倍，
∴$\frac{1}{2}$|4-n|×8=2×$\frac{1}{2}$×4×8，
∴n=12，n=-4，
∴P（0，12）或（0，-4）；
故答案为：（0，12）或（0，-4）；

（2）如图，作出点B关于x轴的对称点B′，过B′作B′M⊥y轴，M是垂足，连结AB′，交x轴于点P．
∵点B关于x轴的对称点是B′，∴PB=PB′，
∴AB′=AP+PB′=AP+PB，
而A、B′两点间线段最短，
∴AB′最短，（两点之间，线段最短），即AP+PB最小，

点评 本题主要考查的是轴对称图形的性质、轴对称--路径最短问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．