Question

17．图1是边长分别为4$\sqrt{3}$和2的两个等边三角形纸片ABC和DEC叠放在一起．
（1）①图1中△DEC的面积是$\sqrt{3}$
②操作：固定△ABC，将△DEC绕点C顺时针旋转30°，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F（图2），则在图2中△CBF的面积是6$\sqrt{3}$．
（2）在（1）的条件下将△DEC继续旋转（旋转角小于180°，图3）．连接AD、BE相交于点O，AD交CE于点F，请判断∠EOD的度数，并说明理由．
（3）在（1）的条件下将△DEC绕点C逆时针旋转（旋转角大于60°且小于90°，图4），直接写出直线AD与BE相交所得到的锐角的度数．

Answer 1

分析 （1）①过D作DF⊥CE于F，根据等边三角形的性质得到∠C=60°，解直角三角形得到DF=$\sqrt{3}$，于是得到结论；②由△ABC是等边三角形，得到∠ABC=60°，解直角三角形得到BF=2$\sqrt{3}$，CF=6，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，得到∠ACD=∠BCE，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）延长AD交BE于F，设AD与BC交于E，根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，得到∠ACD=∠BCE，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）①过D作DF⊥CE于F，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵CD=CE=2，
∴DF=$\sqrt{3}$，
∴△DEC的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠BCF=30°，
∴∠BFC=90°，
∵BC=4$\sqrt{3}$，
∴BF=2$\sqrt{3}$，CF=6，
∴△CBF的面积=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$，6$\sqrt{3}$；
（2）∠EOD=60°，
理由如下：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠EOD=∠ECD=60°；
（3）延长AD交BE于F，设AD与BC交于E，
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
直线AD与BE相交所得到的锐角的度数是60°．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．