Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N．
（1）求CF的长； 
（2）求证：BM=EF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：计算题,几何图形问题

分析：（1）如图，过M作MH⊥BC于H，设CF=x．则HF=

1

2

+x，BF=MF=1+x．在直角△MHF中，由勾股定理来求x的值；
（2）根据AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，证△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根据BM=2BE推出即可．

解答：解：（1）解：如图，过M作MH⊥BC于H，
设CF=x．则HF=

1

2

+x，BF=MF=1+x．
在直角△MHF中，由勾股定理得
1²+（

1

2

+x）²+（1+x）²，
解得，x=

1

4

；

（2）证明：证明：∵M为AD的中点，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形性质等知识点，主要考查学生是否熟练运用性质进行推理和计算，题目综合性比较强，有一定的难度．