Question

如图，直线与x、y轴分别交于点A、B，以AB为直径的⊙M过原点O，垂直于x轴的直线MP与⊙M的下半圆交于点P．
（1）求点B关于直线MP对称的点C的坐标；　
（2）若直线MP的解析式是x=6，求过P、B、C三点的抛物线的解析式；　
（3）抛物线上是否存在点E，使∠EOP=45°？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线与x、y轴分别交于点A、B，
设y=0，则-x+3m=0，
∴x=4m，
∴A（4m，0），
∴OA=|4m|
设x=0，则y=3m，
∴B（0，3m），
∵MP⊥OA，
∴点M的横坐标为2m，
∴点C的横坐标为4m，纵坐标于B相同，
∴C（4m，3m）；

（2）直线MP的解析式是x=6，
∴2m=6，m=3，
∴A（12，0），B（0，9），C（12，9）
由勾股定理得AB==15，
即MP=，
∴M（6，），
∴P（6，-3）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把B，P，C三点的坐标分别代入得
，
解得．
故过P、B、C三点的抛物线的解析式是y=x²-4x+9；

（3）假设抛物线上存在点E，使∠EOP=45°，延长OE交圆于D，
则∠DMP=90°，
∵M（6，），MD=AB=，
∴D（，）
设直线OD的解析式为y=kx，把D（，）代入解得k=，
∴y=x，
∵E是OD与抛物线的交点，
∴联立解析式组成方程组为：，
解得：或，
故存在满足条件的点E，有两个坐标分别是（，），（，）．
分析：（1）由直线的解析式可求出B和A点的坐标，因为ABAB为直径，M是圆心所以M是AB中点，又因为MP⊥OA，利用垂径定理可得D是AO中点，即OD的长可求，进而求出直线MP的解析式，从而求出点B关于直线MP对称的点C的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由（1）可知OP=2m=6，所以可求出B，P，C三点的坐标，代入计算即可；
（3）假设抛物线上存在点E，使∠EOP=45°，设射线OE交圆于D，利用圆周角定理求出D点的坐标，进而求出直线OE的解析式，此解析式与抛物线的解析式联立，解方程组即可．
点评：此题考查了二次函数和一次函数解析式的确定、轴对称的性质以及函数图象交点坐标的求法等知识，综合性强，难度较大．