Question

19．如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1=∠2，连结BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD=2$\sqrt{2}$，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BDO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠C，再利用相似三角形的判定方法得出即可；根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出ED，AD，BD的长，即可得出CD，利用相似三角形的性质得出NB的长即可．

解答 （1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOD=2∠2．
∵∠1=∠2，∠BOD+∠ODE=90°，
∴∠ODE+∠1+∠2=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠FDO=90°，
∴∠ADB-∠BDO=∠FDO-∠BDO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠C，
∴△ADM∽△CDN；
∵⊙O的半径为3，即AO=DO=BO=3，
在Rt△DOE中，tan∠BOD=2$\sqrt{2}$，cos∠BOD=$\frac{1}{3}$，
∴OE=DO•cos∠BOD=3×$\frac{1}{3}$=1，
由此可得：BE=2，AE=4，由勾股定理可得：
DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD=2DE=4$\sqrt{2}$，
∵△ACM∽△DCN，
∴$\frac{DM}{DN}$=$\frac{AD}{CD}$，
∵点M是DO的中点，DM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴DN=$\frac{DM•CD}{AD}$=$\frac{\frac{3}{2}×4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$，
∴BN=BD-DN=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ADM∽△CDN是解题关键．