Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦AD于点E，连OD交AC于点F．
（1）求证：∠BAC=∠DAC；
（2）若AF：FC=6：5，求sin∠BAC的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OC，如图1，

∵CD为切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD

∴OC∥AD，

∴∠CAD=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠BAC=∠DAC

（2）如图2，

作OG⊥AD于G，CH⊥AB于H，连接OC，

由（1）知，OC∥AD，

∴△AFD∽△CFO，

∴

∵AF：FC=6：5，

∴

设AD=6x，OC=OD=OA=5x，则OG=CH=4x，

在Rt△OCH中，OC=5x，CH=4x，

∴OH=3x，

∴AH=OA+OH=8x；

在Rt△ACH中，AC= =4 x

Sin∠BAC= =

【解析】（1）连结OC，如图1，先利用切线的性质得到OC⊥CD，再判断OC∥AD得到∠CAD=∠ACO，而∠BAC=∠ACO，即可得出结论；（2）先根据OC∥AD，得出△AFD∽△CFO即可求出 然后设出AD=6x，OC=5x，再用勾股定理表示出CH，AH，进而得出AC即可求出结论；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理和解直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．