【题目】如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,8),点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动,同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动,运动时间为t秒(t>0).
(1)若反比例函数y= 图象经过P点、Q点,求a的值;
(2)若OQ垂直平分AP,求a的值;
(3)当Q点运动到AB中点时,是否存在a使△OPQ为直角三角形?若存在,求出a的值,若不存在请说明理由;
【答案】
(1)
解:∵A(10,0),C(0,8),点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动,同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动,
∴P(t,8),Q(10,at),
∵反比例函数y= 图象经过P点、Q点,
∴8t=10at,解得a= ;
(2)
解:∵OQ垂直平分AP,
∴OP=OA,PQ=QA,
∴ =10,解得t=6,
∴Q(10,6a),P(6,8),
∵PQ=QA,
∴(10﹣6)2+(6a﹣8)2=(6a)2,解得a=
(3)
解:如图,
∵Q为AB的中点,
∴Q(10,4),P(t,8).
当∠OPQ=90°时,OP2+PQ2=OQ2,即t2+82+(10﹣t)2+42=102+42,整理得,t2﹣10t+32=0,
∵△=(﹣10)2﹣4×32=100﹣128=﹣28<0,
∴此方程无解,即此种情况不存在;
当∠POQ=90°时,OQP2+PQ2=OP2,即102+42+(10﹣t)2+42=t2+82,整理得,﹣20t=﹣168,解得t= ,
∵AQ=4,
∴at=4,即 a=4,解得a= .
【解析】(1)先用t表示出P、Q两点的坐标,再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论;(2)先根据OQ垂直平分AP得出OP=OA,求出t的值,再由PQ=QA即可得出a的值;(3)分∠OPQ=90°与∠POQ=90°两种情况进行分类讨论.
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【题目】如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论: ① = ;② = ;③ ;④ =
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图在Rt△ACB中,C为直角顶点,∠ABC=25°,O为斜边中点.将OA绕着点O逆时针旋转θ°(0<θ<180)至OP,当△BCP恰为轴对称图形时,θ的值为 .
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【题目】如图1,ABCD为正方形,直线MN分别过AD边与BC边的中点,点P为直线MN上任意一点,连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点,PC与BD交于点K,连接AK与PB交于点G.
(1)探索发现
当点P落在AD边上时,如图2,试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系(直接写出无需证明);
(2)延伸拓展
当点P落在正方形外,如图1,以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明,如果不成立请说明你的理由;
(3)应用推广
如图3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰长为3,M、N分别为AD边与BD边的中点,K为线段DN中点,F为AD边上靠近于D的三等分点.连接KF并延长与直线MN交于点P,连接PB分别与AD、AK交于点E、G.试求四边形EFKG的周长及面积.
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【题目】为了解某区九年级学生身体素质情况,该区从全区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀:B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生是;
(2)求图1中∠α的度数是°,
(3)把图2条形统计图补充完整;
(4)该区九年级有学生3500名,如果全部参加这次体育科目测试,请估计不及格的人数为 .
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【题目】已知抛物线y1=ax2﹣4ax+3(a≠0)与y轴交于点A,A、B两点关于对称轴对称,直线OB分别与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)直接写出对称轴及B点的坐标;
(2)已知直线y2=bx﹣4b+3(b≠0)与抛物线的对称轴相交于点D. ①判断直线y2=bx﹣4b+3(b≠0)是否经过点B,并说明理由;
②若△BDC的面积为1,求b的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将斜边长为2个等腰直角三角形按如图所示的位置摆放,得到一条折线O﹣A﹣B﹣C﹣D…,点P从点O出发沿着折线以每秒 的速度向右运动,2016秒时,点P的坐标是 .
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【题目】学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品,已知甲种图书单价比乙种图书贵4元,用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同.
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元?
(2)学校计划购买这两种图书共100本,请求出所需经费W(单位:元)与购买甲种图书m(单位:本)之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,要使投入的经费不超过1820元,且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量,则共有几种购买方案?
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