Question

阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），②
∴c²=a²+b²，③
∴△ABC为直角三角形．
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号

③

；
（2）该步正确的写法应是

当a²-b²=0时，a=b；当a²-b²≠0时，a²+b²=c²

；
（3）本题正确的结论应是

△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形

．

Answer 1

分析：（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a²-b²，没有考虑a²-b²是否为0；
（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；
（3）根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．

解答：解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；
（2）正确的写法为：c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移项得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
则当a²-b²=0时，a=b；当a²-b²≠0时，a²+b²=c²；
（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：（1）③；（2）当a²-b²=0时，a=b；当a²-b²≠0时，a²+b²=c²；（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

点评：此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的判定，找出阅读材料中解题过程中的错误是解本题的关键．