Question

（2007•临夏州）[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：

m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h

；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

Answer 1

分析：（1）图②-⑤中的关系依次是h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h． 
（2）解直角三角形得出h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，求出h₁+h₂+h₃=ACsin60°，即可得出答案；
（3）根据三角形面积公式和等边三角形性质得出

1

2

BC×AM=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE+

1

2

BC×PF，AB=BC=AC，即可得出答案；
（4）连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，求出BR、CS，根据面积公式求出即可．

解答：解：（1）图②-⑤中的关系依次是：
h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h．    
           
（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h．
证明：∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．                                    
（3）证明：如图，

连接AP、BP、CP，
S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC×AM=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE+

1

2

BC×PF，
∵AB=BC=AC，
∴PD+PE+PF=AM，
即h₁+h₂+h₃=h；

（4）
连接CP，BP，RP，过R作RQ⊥BC于Q，
则RQ∥SF，
∵RS∥BC，
∴四边形RQFS是平行四边形，
∴RS=QF=n，
∵梯形RBCS是等腰梯形，
∴BQ=FC=

1

2

（m-n），
∵∠B=∠C=60°，
∴BR=CS=2BQ=（m-n），
∴S_梯形BCRS=S_△BRP+S_△BCP+S_△CSP+S_△RPS，
∴

1

2

•（m-n）•h₁+

1

2

•m•h₂+

1

2

•（m-n）•h₃+

1

2

•n•h₄=

1

2

（m+n）h
∴（m-n）h₁+mh₂+（m-n）h₃+nh₄=（m+n）h，
m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h，
∴图（4）与图（6）中的等式有当n=0时，图形（6）的等式就变成图形（4）的等式，
故答案为：m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h．

点评：本题考查了三角形面积，平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好，由一定的难度．