Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（7，0），点C在第一象限，AC∥x轴，∠OBC=45°．
（1）求点C的坐标；
（2）点D在线段AC上，CD=1，点E的坐标为（n，0），在直线DE的右侧作∠DEG=45°，直线EG与直线BC相交于点F，设BF=m，当n＜7且n≠0时，求m关于n的函数解析式，并直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥x轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得OM和CM的长，可求得C点坐标；
（2）①当E在线段OB上时，连接OD，利用条件可证得△DOE∽△EBF，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段BO的延长线上时，同样可证得△DOE∽△EBF，可得到m与n之间的关系．

解答 解：
（1）作CM⊥x轴于点M，如图1，

则∠CMB=∠AOM=90°，
∴CM∥AO，
∵AC∥x轴，
∴四边形AOMC是矩形，
∴CM=AO=3，AC=OM，
∵∠OBC=45°，
∴MB=MC=3，
∴OM=7-3=4，
∴C（4，3）；
（2）①当点E在线段OB上时，即当0＜n＜7时，如图2，连接OD，

∵CD=1，
∴AD=3=AO，
∴∠AOD=∠ADO=45°=∠DOB=∠OBC，
∵∠OEF=∠EFB+∠EBF，即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF，
∴∠OED=∠EFB，
∴△DOE∽△EBF，
∴$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OD}{BE}$，即$\frac{n}{m}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}}{7-n}$，
∴m=-$\frac{\sqrt{2}}{6}$n²+$\frac{7\sqrt{2}}{6}$n；
②当点E在线段BO的延长线上时，即n＜0时，连接OD，如图3，

由（1）知∠DOB=∠OBC，
∴∠DOE=∠EBF，
∵∠DEF=45°=∠OBC，
∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF，
∴∠DEO=∠BFE，
∴△DOE∽△EBF，
∴$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OD}{BE}$，即$\frac{-n}{m}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}}{7-n}$，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{6}$n²-$\frac{7\sqrt{2}}{6}$n；
综上可知m与n的函数关系式为m=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{6}{n}^{2}+\frac{7\sqrt{2}}{6}n（0＜n＜7）}\\{\frac{\sqrt{2}}{6}{n}^{2}-\frac{7\sqrt{2}}{6}n（n＜0）}\end{array}\right.$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及矩形、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中构造等腰直角三角形是解题的关键，在（2）中证得三角形相似是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．