Question

9．已知：如图，双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限的分支经过A、B两点，点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），点B的坐标为（m，2）．
（1）求k和m值；
（2）求∠AOB的度数；
（3）将△ABO沿着AB翻折得到△ABP，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，把B点坐标代入反比例函数解析式则可求得m；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，由A、B两点的坐标可分别求得OC、AC、OB、OD，利用三角函数的定义可分别求得∠AOC和∠BOD，可求得∠AOB的度数；
（3）连接OP交AB于点H，分别过点H、P作HE⊥E轴、PF⊥E轴，由条件可知四边形OAPB为菱形，可证得H为AB、OP的中点，E为CD的中点，则EH为△OFP的中位线，借助（2）中OC、OD可求得OE，且可得到△HOE和△POF为等腰直角三角形，可求得PF和OF的长，从而可求得P点坐标．ω

解答 解：
（1）把A点的坐标 （2，$2\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=4$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$，
把B点的坐标 （m，2）代入y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$，可得m=2$\sqrt{3}$；
（2）如图1，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，

∵A点的坐标 （2，2$\sqrt{3}$），
∴OC=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOC=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°，
∵B点的坐标 （2$\sqrt{3}$，2），
∴OD=2$\sqrt{3}$，BD=2，
∴tan∠BOD=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOD=30°；
（3）如图2，连接OP交AB于点H，分别过点H、P作HE⊥E轴、PF⊥E轴，

∵A（2，2$\sqrt{3}$），B（2$\sqrt{3}$，2）
∴OC=2，OD=2$\sqrt{3}$，
∴CD=OD-OC=2$\sqrt{3}$-2，
∵△AOB沿AB翻折，
∴四边形OBPA为菱形，
∴∠HOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，HA=HB，HO=HP
∴∠HOE=45°，
∴△OEH为等腰直角三角形，
∵AC⊥x轴、HE⊥x轴、BD⊥x轴，
∴AC∥BD∥HE，
∴E为CD中点，
∴OE=HE=OC+CE=OC+$\frac{1}{2}$CD=2+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$-2）=$\sqrt{3}$+1，
∵HO=HP，HE∥PF，
∴HE为△OPF的中位线，
∴PF=2HE，
∴PF=2（$\sqrt{3}$+1），
∴OF=PF=2（$\sqrt{3}$+1）=2$\sqrt{3}$+2，
∴P点坐标为（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$+2）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、中位线定理等．在（2）中根据点的坐标求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中利用好中位线定理的判定和性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．