Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC边上的中点，DE⊥DF，AD与EF相交于点G．
（1）试判断∠AGF与∠AED的大小关系，证明你的结论．
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，点D是BC边上的中点，三线合一，再根据等角的余角相等，得出△DEF等腰直角三角形，从而得出∠AGF=∠AED；
（2）利用（1）得出得结论，同时利用勾股定理计算出DE、DF即可得出△DEF的面积．

解答：（1）∠AGF=∠AED，
证明：∵AB=AC，∠BAC=90，点D是BC边上的中点，三线合一，
∴BD=AD，∠B=∠DAF，BD⊥AD，
又∴DE⊥DF，
根据等角的余角相等，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，
∴△DEF等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
又∵∠AGF=∠EAG+∠AEG，∠EAG=∠DEF=45°，
∴∠AGF=∠DEF+∠AEG=∠AED；

（2）解：由（1）得AB=AC=BE+CF=12+5=17，
∴AE=5，AF=12，
根据勾股定理得EF=13，
又∵△DEF等腰直角三角形，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

，
=

169

4

．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、三角形面积公式，难度适中．