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    【题目】如图，在Rt△ABC中，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是BC边上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F.

    （1）如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求证：四边形AEDF是矩形

    （2）在（1）条件下，若点D在∠BAC的角平分线上，试判断此时四边形AEDF形状，并说明理由；

    （3）若点D在∠BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明.（尝试作辅助线）

    【答案】（1）见解析 （2）正方形，理由见解析 （3）见解析

    【解析】

    （1）由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论；
    （2）根据角平分线的性质得到DE=DF，根据正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形；
    （3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证得四边形AMDN是正方形，由正方形的性质得到AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，由余角的性质得到∠NDF=∠EDM，根据全等三角形的性质得到EM=FN，根据勾股定理得到AD=AM，由于AM=（AM+AN）=（AE+AF），等量代换即可得到结论．

    （1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，
    ∴∠AED=∠AFD=90°，
    ∵∠BAC=90°，
    ∴四边形AEDF是矩形；
    （2）四边形AEDF是正方形，
    理由：∵点D在∠BAC的 角平分线上，DE⊥AB，BF⊥AC，
    ∴DE=DF，
    ∴矩形AEDF是正方形；
    （3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，


    ∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
    ∵点D在∠BAC的 角平分线上，
    ∴DM=DN，
    ∴四边形AMDN是正方形，
    ∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，
    ∴∠MDF+∠NDF=90°，
    ∵∠EDF=90°，
    ∴∠MDF+∠EDM=90°，
    ∴∠NDF=∠EDM，
    在△EMD与△FND中， ，
    ∴△EMD≌△FND，
    ∴EM=FN，
    ∵∠AMD=90°，
    ∴AM2+DM2=AD2，
    ∴AD=AM，
    ∵AM=（AM+AN）=（AE+AF），
    ∴AD=×（AE+AF），
    ∴AE+AF=AD．

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    （1）求证：；

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