Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD⊥AB于D点，∠BAC的角平分线交BC于，点E，交线段BD于点F．
（1）求证：AC•AF=AE•AD；
（2）试判断线段DF与BE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（3）若令线段DF的长为x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ADF，
∴AC：AD=AE：AF，
∴AC•AF=AE•AD；

（2）解：线段DF=BE．理由如下：
过E作EM⊥AB于M点，如图，
∴EM=EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM=AC
∵FD∥EM，
∴=，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴△CAB为等腰直角三角形，
∴AM=AC=BC=AD，EM=BE，
∴FD=BE•=BE；

（3）解：过F作FG⊥BC于点G，如图，
∵CD和AE为△ABC的角平分线，
∴BF平分∠ABC，
∴FG=FD=x，
∴y=FG•BE=x•2x=x²．
分析：（1）由AE平分∠CAB得到∠CAE=∠FAD，易证得Rt△ACE∽Rt△ADF，则AC：AD=AE：AF，变形后即可得到结论；
（2）过E作EM⊥AB于M点，根据角平分线定理可得EM=EC，则Rt△AME≌Rt△ACE，得到AM=AC；再根据平行线分线段成比例定理得到=，根据等腰直角三角形的性质得到AM=AC=BC=AD，EM=BE，代入上式得到FD=BE•=BE；
（3）过F作FG⊥BC于点G，根据三角形的角平分线相交于一点由CD和AE为△ABC的角平分线得到BF平分∠ABC，则FG=FD=x，再根据三角形的面积公式即可得到y与x的关系．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两个角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式以及角平分线的性质．