【题目】如图,直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C是第二象限内任意一点,以点C为圆心的圆与x轴相切于点E,与直线AB相切于点F.
(1)如图①,当四边形OBCE是矩形时,求点C的坐标;
(2)如图②,若⊙C与y轴相切于点D,求⊙C的半径r;
(3)在⊙C的移动过程中,能否使△OEF是等边三角形?(只回答“能”或“不能”)
【答案】(1)点C的坐标为(-5,3);(2)r=2;(3)不能.
【解析】
(1)因为直线yx+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,所以分别令x=0,y=0,可求出A(4,0),B(0,3),所以OA=4,OB=3,AB=5,连接CF,当四边形OBCE为矩形时,有CF=CE=OB=3,CB∥x轴,利用两直线平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO,又因⊙C与直线AB相切于点F,所以CF⊥AB于点F,利用AAS可知△CBF≌△BAO,所以CB=AB=5,即点C的坐标为(﹣5,3);
(2)因为点C(m,n)是第二象限内任意一点,以点C为圆心的圆与x轴相切于点E,与直线AB相切于点F,若⊙C与y轴相切于点D,可分别连接CE、CF、CD,则由切线长定理得AF=AE,BF=BD,OD=OE,所以AE(AB+OA+OB)=6,又因由切线性质定理得:CE⊥x轴于点E,CD⊥y轴于点D,所以四边形CEOD为矩形,又因为CE=CD,所以四边形CEOD为正方形,所以OE=CE=r=AE﹣OA=6﹣4=2;
(3)用反证法证明即可.假设△OEF是等边三角形,得到∠FEO=60°.由切线长定理得AF=AE,从而得到△AEF是等边三角形,故有∠EAB=60°.在△OAB中,tan∠OAB=≠tan60°,产生了矛盾,即三角形OEF不是等边三角形.
(1)如图1,当x=0时,y=3;当y=0时,x=4,∴A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,AB=5.
连接CF,当四边形OBCE为矩形时,有CF=CE=OB=3,CB∥x轴,∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C与直线AB相切于点F,∴CF⊥AB于点F
∴∠CFB=∠BOA.
又∵CF=OB,∴△CBF≌△BAO,∴CB=AB=5,∴点C的坐标为(﹣5,3);
(2)如图2,连接CE、CF、CD.
∵⊙C与x轴、y轴、AB分别相切于E、D、F,∴由切线长定理得AF=AE,BF=BD,OD=OE,∴AE(AB+OA+OB)=6,由切线性质定理得:CE⊥x轴于点E,CD⊥y轴于点D,∴四边形CEOD为矩形.
又∵CE=CD,∴矩形CEOD为正方形,∴OE=CE=r.
∵OE=AE﹣OA=6﹣4=2,∴⊙C的半径为2;
(3)不能.理由如下:
如图3,假设△OEF是等边三角形,∴∠FEO=60°.
∵AF、AE是切线,∴AF=AE,∴△AEF是等边三角形,∴∠EAB=60°.在△OAB中,tan∠OAB=≠tan60°,∴产生了矛盾,即三角形OEF不是等边三角形.
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【题目】定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.如: ,则
是“和谐分式”.
(1)下列分式中,属于“和谐分式”的是_____(填序号);
①;②
;③
;④
;
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为:
=_______(要写出变形过程);
(3)应用:先化简,并求x取什么整数时,该式的值为整数.
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【题目】已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1)如图①,AB是直径,要使EF是⊙O的切线,还须添加一个条件是(只需写出三种情况).
(ī) (īī) (īīī)
(2)如图(2),若AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,则EF是⊙O的切线吗?为什么?
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【题目】(本小题满分10分)
如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B市位于点P的北偏东75°方向上,距离点P 320千米处.
(1) 说明本次台风会影响B市;
(2)求这次台风影响B市的时间.
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【题目】如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,OC=4,∠OAC=60°.
(1)求∠AOC的度数;
(2)如图,一动点M从A点出发,在⊙O上按逆时针方向运动,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长.
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【题目】如图,P是⊙O外一点,PA,PB分别和⊙O切于A,B两点,C是弧AB上任意一点,过点C作⊙O的切线分别交PA,PB于点D,E.若△PDE的周长为12,则PA的长为( )
A. 12 B. 6 C. 8 D. 4
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠ABC=90o,在AB上取一点E,以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D,若AE=2cm,AD=4cm.
(1)求⊙O的直径BE的长;
(2)计算△ABC的面积.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=16cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.,并指出此时x的值.
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【题目】作图题:如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点坐标;
(2)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标.
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