Question

如图1，一架4米长的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子AB与地面OM的倾斜角α为60°．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，如图2，设A点下滑至C点，B点向右滑行至D点．若AC：BD=2：3，试求梯子顶端A沿NO
下滑多少米；
（3）若梯子顶端A沿NO下滑，如图3，设A点下滑至C点，B点向右滑行至D点，梯子AB的中点P，也随之运动到点Q，若∠POQ=15°，试求AC的长．

Answer 1

解：（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°α=60°∠OAB=30°
AB=4米 OB=2米 AO=2米 …（2分）

（2）设AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米
Rt△COD中…（2分）
解得 （舍去）AC=2x=（米）…（3分）
梯子的顶端沿NO下滑米…（1分）

（3）∵P、Q分别是Rt△AOB和Rt△COD斜边上的中点
∴PO=PA，QO=QC
∴∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ…（2分）
∴∠QCO-∠PAO=∠POQ=15°
∵∠PAO=30°
∴∠QCO=45°…（2分）
CO=CD×cos45°=，
AC=AO-CO=（米）．
分析：（1）在直角△AOB中，已知斜边AB，和锐角∠ABO，即可根据正弦和余弦的定义求得OA，OB的长；
（2）利用AC：BD=2：3，设AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米，利用勾股定理列出关系式即可求得下滑的长度；
（3）根据P、Q分别是Rt△AOB和Rt△COD斜边上的中线求得PO=PA、QO=QC，从而得到∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ，然后求得QCO=45°，利用解直角三角形求得AC的长即可．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠QCO=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．