Question

如图，将OA=8，AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为______；用含t的式子表示点P的坐标为______；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜8），并求当t为何值时，S有最大值？若有，求出这个最大值；
（3）试探究：在上述运动过程中，是否存在某一个时刻，△OPM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）延长NP到OA于一点G，
∵NP⊥BC，
∴PG⊥AO，
∵OA=8，AB=6，
∴

PG

GO

=

AB

AO

=

6

8

=

3

4

，
∵CN=t，
∴PG=

3

4

t，
∴B（8，6），P（t，

3

4

t）；


（2）∵PG=

3

4

t，OM=8-t，
∴S=

1

2

(8-t)×

3

4

t=-

3

8

t2+3t（0＜t＜8），
当t=4时，S有最大值，最大值为6．

（3）当OP=PM时，有8-t=2t，
解得：t=

8

3

，∴M（

16

3

，0）；
当OP=OM时，有8-t=

5

4

t，
解得：t=

32

9

，∴M（

40

9

，0）；
当OM=PM时，有2×

4

5

(8-t)=

5

4

t，
解得：t=

256

57

，∴M（

200

57

，0）．
综上所述，M的坐标为（

16

3

，0）或（

40

9

，0）或（

200

57

，0）．