Question

已知一元二次方程x²-x+1-m=0的两个实根α，β满足|α|+|β|≤5，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：首先由于一元二次方程x²-x+1-m=0的有两个实根，由此得到其判别式是非负数，然后利用根与系数的关系和|α|+|β|≤5得到关于k的不等式，联立判别式即可求出实数m的取值范围．

解答：解：∵一元二次方程x²-x+1-m=0的有两个实根，
∴△=1-4（1-m）≥0，
∴m≥

3

4

，
∵一元二次方程x²-x+1-m=0的两个实根α，β满足|α|+|β|≤5，
而α+β=1，
αβ=1-m，
∴（|α|+|β|）²≤25，
α²+2|αβ|+β²≤25，
（α+β）²-2αβ+2|αβ|≤25，
∴1-2（1-m）+2|1-m|≤25，
当m-1≤0即m≤1时，不等式永远成立；
当m＞1时，m≤7，
∴

3

4

≤m≤7．

点评：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时也利用分类讨论的思想和绝对值的定义，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关知识才能很好解决这类问题．