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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点D(m,m﹣2)在第三象限的抛物线上,求点D关于直线AB对称的点E的坐标;

(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,求出相应点Q的坐标.

【答案】(1)y=x2+x﹣4;(2)E点坐标为(0,﹣2);(3)综上所述,Q点的坐标为(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2).

析】

试题分析:(1)设交点式y=a(x+4)(x﹣2),然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式;

(2)先判断AOB为等腰直角三角形得到ABO=45°,再把把D(m,m﹣2)代入y=x2+x﹣4求出m得到D(﹣2,﹣4),则利用D嗲和B点坐标可判断BDx轴,BD=2,如图1,根据对称的性质BE=BD=2,BF垂直平分DE,再判断点E在y轴上,于是利用OE=OB﹣BE=2可得到E点坐标;

(3)如图2,根据平行四边形的判定方法当PQ=OB=4,PQOB时,点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,设Q(t,﹣t),则P(t, t2+t﹣4),分类讨论:当OQ为边时,四边形OQPB为平行四边形,则﹣t﹣(t, t2+t﹣4)=4,当OQ为对角线时,四边形OBQP为平行四边形,则t2+t﹣4﹣t=4,然后分别解方程求出t即可得到满足条件的Q点坐标.

试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2),

把B(0,﹣4)代入得a4(﹣2)=﹣4,解得a=

所以抛物线解析式为y=(x+4)(x﹣2),即y=x2+x﹣4;

(2)A(﹣4,0),B(0,﹣4),OA=OB,∴△AOB为等腰直角三角形,

∴∠ABO=45°,把D(m,m﹣2)代入y=x2+x﹣4得m2+m﹣4=m﹣2,解得m1=2,m2=﹣2,

D(﹣2,﹣4),而B(0,﹣4),BDx轴,BD=2,

点D和点E关于直线AB对称(DE交AB于F),如图1,

BE=BD=2,BF垂直平分DE,∴∠DBF=EBF=45°,∴∠DBE=90°,

点E在y轴上,而OE=OB﹣BE=2,

E点坐标为(0,﹣2);

(3)判断有2个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形.如图2,

当PQ=OB=4,PQOB时,点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,

设Q(t,﹣t),则P(t, t2+t﹣4),

当OQ为边时,四边形OQPB为平行四边形,则﹣t﹣(t, t2+t﹣4)=4,解得t1=0(舍去),t2=﹣4,此时Q点坐标为(﹣4,4);

当OQ为对角线时,四边形OBQP为平行四边形,则t2+t﹣4﹣t=4,解得t1=﹣2+2,t2=﹣2﹣2(舍去),此时Q点坐标为(﹣2+2,2﹣2),

综上所述,Q点的坐标为(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2).

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