Question

设函数y=kx²+（2k+1）x+2（k为任意实数）
（1）求证：不论k为何值，该函数图象都过点（0，2）和（-2，0）；
（2）若该函数图象与x轴只有一个交点，求k的值．

Answer 1

分析：（1）将（0，2）和（-2，0）分别代入函数解析式，若等式成立，则不论k为何值，该函数图象都过点（0，2）和（-2，0）；
（2）分两种情况讨论，①k=0时，函数为一次函数，此时函数图象与x轴只有一个交点，
②k≠0时，函数为二次函数，若图象与x轴只有一个交点，则判别式=0．

解答：解：（1）把x=0代入y=kx²+（2k+1）x+2，得y=2；  
把x=-2代入y=kx²+（2k+1）x+2，得y=0；
不同解法只要正确均给分．

（2）①当k=0时，函数为一次函数y=x+2，显然与x轴只有一个交点；
②当k≠0时，函数为二次函数，要使与x轴只有一个交点，则（2k+1）²-4k×2=4k²-4k+1=（2k-1）²=0；
∴此时k=\frac{1}{2}；
综上所述，当k=0或\frac{1}{2}时，函数y=kx²+（2k+1）x+2与x轴只有一个交点．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答时要注意分类讨论．