Question

14．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落到点C′处，折痕为EF．
（1）若∠EFC′=115°，求∠ABE的度数；
（2）求证：AE=C′F．

Answer 1

分析 （1）根据折叠得出∠EFC=∠EFC′=115°，∠DEF=∠BEF，求出∠EFB=65°，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠DEF=∠BEF=∠BFE=65°，即可求出答案；
（2）AB=DC=BC′，∠A=∠D=90°，∠D=∠EBC′=90°，∠C=∠C′=90°，DE=BC′，求出∠ABE=∠C′BF，推出△ABE≌△C′BF即可．

解答 （1）解：∵∠EFC′=115°，
∴根据折叠得：∠EFC=∠EFC′=115°，∠DEF=∠BEF，
∴∠EFB=180°-∠EFC=65°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BEF=∠BFE=65°，
∴∠AEB=180°-65°-65°=50°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠ABE=90°-∠AEB=40°；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落到点C′处，折痕为EF，
∴AB=DC=BC′，∠A=∠D=90°，∠D=∠EBC′=90°，∠C=∠C′=90°，DE=BC′，
∴∠ABC=∠EBC′=90°，
∴∠ABE=∠C′BF=90°-∠EBF，
在△ABE和△C′BF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C′}\\{∠ABE=∠C′BF}\\{AB=BC′}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△C′BF，
∴AE=C′F．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质等知识点，能正确运用性质进行推理是解此题的关键．