分析 (1)连接AE,如图1,根据圆的切线的性质可得AE⊥BC,解Rt△AEB可求出∠ABE,进而得到∠DAB,然后运用圆弧长公式就可求出$\widehat{DEF}$的长度;
(2)如图2,根据两点之间线段最短可得:当A、P、G三点共线时PG最短,此时AG=AP+PG=2$\sqrt{2}$=AB,根据等腰三角形的性质可得BE=EG,只需运用勾股定理求出BE,就可求出BG的长.
解答 解:(1)连接AE,如图1,
∵AD为半径的圆与BC相切于点E,
∴AE⊥BC,AE=AD=2.
在Rt△AEB中,
sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴∠ABE=45°.
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABE=180°,
∴∠DAB=135°,
∴$\widehat{DEF}$的长度为$\frac{135π•2}{180}$=$\frac{3π}{2}$;
(2)如图2,
根据两点之间线段最短可得:
当A、P、G三点共线时PG最短,
此时AG=AP+PG=2+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$,
∴AG=AB.
∵AE⊥BG,
∴BE=EG.
∵BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{8-4}$=2,
∴EG=2,
∴BG=4.
综上,存在满足条件的BG=4.
点评 本题主要考查了圆的切线的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、平行线的性质、圆弧长公式、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识,根据两点之间线段最短得到A、P、G三点共线时PG最短,是解决第(2)小题的关键,注意有两解.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{3}{8}$ |
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