Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，C是线段AB的中点，连接OC，并过点A作OC的垂线，垂足为D，交x轴于点E，已知tan∠OAD=

1

2

．
（1）求2∠OAD的正切值；
（2）若OC=

5

．
①求直线AB的解析式；
②求点D的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设DE=k．根据同角的余角相等得出∠OAD=∠DOE=90°-∠AOD，由正切函数定义得到

OD

AD

=

DE

OD

=

1

2

，那么OD=2k，AD=4k．由勾股定理得OA=

OD2+AD2

=2

5

k，那么OE=

1

2

OA=

5

k．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=

1

2

AB=BC，由等边对等角得到∠COB=∠OBC，根据三角形外角的性质得出∠ACD=∠COB+∠OBC=2∠OAD．然后求出OB=2OA=4

5

k，AB=

OA2+OB2

=10k，OC=

1

2

AB=5k，那么CD=OC-OD=3k，于是tan（2∠OAD）=tan∠ACD=

AD

CD

=

4k

3k

=

4

3

；
（2）①由OC=5k=

5

，得出k=

5

5

，再求出OA=2

5

k=2，OB=2OA=4，得到A（0，2），B（4，0）．然后设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解；
②过D作DF⊥x轴于点F．由DF∥AO，根据平行线分线段成比例定理得出

DF

AO

=

DE

AE

=

EF

EO

，即

DF

2 5 k

=

k

5k

=

EF

5 k

，求出DF=

2

5

，EF=

1

5

，那么OF=OE-EF=

4

5

，于是得到点D的坐标为（

4

5

，

2

5

）．

解答：解：（1）设DE=k．
∵∠AOE=∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠DOE=90°-∠AOD，
∴tan∠OAD=tan∠DOE=

1

2

，
∴

OD

AD

=

DE

OD

=

1

2

，
∴OD=2DE=2k，AD=2OD=4k．
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA=

OD2+AD2

=

(2k)2+(4k)2

=2

5

k，
∵tan∠OAD=

OE

OA

=

1

2

，
∴OE=

1

2

OA=

5

k．
∵在Rt△AOB中，C是线段AB的中点，
∴OC=

1

2

AB=BC，
∴∠COB=∠OBC，
∴∠OAD=∠DOE=∠COB=∠OBC，
∴∠ACD=∠COB+∠OBC=2∠OAD．
∵在Rt△AOB中，tan∠OBA=tan∠OAD=

1

2

，
∴

OA

OB

=

1

2

，
∴OB=2OA=4

5

k，
∴AB=

OA2+OB2

=

(2 5 k)2+(4 5 k)2

=10k，
∴OC=

1

2

AB=5k，
∴CD=OC-OD=5k-2k=3k，
∴tan（2∠OAD）=tan∠ACD=

AD

CD

=

4k

3k

=

4

3

；

（2）①∵OC=5k=

5

，
∴k=

5

5

，
∴OA=2

5

k=2，OB=2OA=4，
∴A（0，2），B（4，0）．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则

n=2 4m+n=0

，解得

m=- 1 2 n=2

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+2；

②如图，过D作DF⊥x轴于点F．
∵DF∥AO，
∴

DF

AO

=

DE

AE

=

EF

EO

，
即

DF

2 5 k

=

k

5k

=

EF

5 k

，
∴DF=

2 5

5

k=

2 5

5

×

5

5

=

2

5

，EF=

5

5

k=

5

5

×

5

5

=

1

5

，
∴OF=OE-EF=

5

k-

1

5

=

5

×

5

5

-

1

5

=

4

5

，
∴点D的坐标为（

4

5

，

2

5

）．

点评：本题是一次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，余角的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，难度适中．设DE=k，用含k的代数式表示出AD与CD是解题的关键．