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15.如图,矩形ABCD的一边BC与⊙O相切于G,DC=6,且对角线BD经过圆心O,AD交⊙O于点E,连接BE,BE恰好是⊙O的切线,已知点P在对角线BD上运动,若以B、P、G三点构成的三角形与△BED相似,则BP=4或12.

分析 连接OE、OG、DG,如图,GO的延长线交AD于H,利用切线的性质得到BG=BE,OB平分∠GBE,OG⊥BC,则GH⊥AD,根据垂径定理得到EH=DH,易得四边形CDHG为矩形,再证明BE=BG=DE,所以AE=CG,利用三角函数的定义可计算出∠ABE=30°,从而得到∠EBD=∠CBD=30°,于是BC=6$\sqrt{3}$,BD=12,BE=DE=BG=4$\sqrt{3}$,然后根据相似三角形的判定方法,当$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BG}{BD}$时,△PBG∽△EBD或当$\frac{PB}{BD}$=$\frac{BG}{BE}$时,△PBG∽△DBE,从而利用相似比求出对应的BP的值.

解答 解:连接OE、OG、DG,如图,GO的延长线交AD于H,
∵BE和BG为⊙O的切线,
∴BG=BE,OB平分∠GBE,OG⊥BC,
而BC∥AD,
∴GH⊥AD,
∴EH=DH,
易得四边形CDHG为矩形,
∴CG=DH,
∴DE=2CG,
∵∠EDB=∠CBD,
∴∠EBD=∠EDB,
∴EB=ED,
∴BE=BG=DE,
∴AE=CG,四边形BGDE为菱形,
在Rt△ABE中,∵sin∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠ABE=30°,
∴∠EBD=∠CBD=30°,
∴BC=6$\sqrt{3}$,BD=12,
∴BE=DE=BG=4$\sqrt{3}$,
当$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BG}{BD}$时,△PBG∽△EBD,即$\frac{PB}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{12}$,解得PB=4;
当$\frac{PB}{BD}$=$\frac{BG}{BE}$时,△PBG∽△DBE,即$\frac{PB}{12}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$,解得PB=12,
综上所述,BP的长为4或12.
故答案为4或12.

点评 本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.也考查了矩形的性质、切线的性质和垂径定理.

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