Question

如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

(1)抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式； 　　(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x＝3的对称点，当M(3，m)在直线D上时，MN＋MD的值最小； 　　(3)需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，x＋3)和②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，x－1)，然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标； 　　(4)方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q(x，x＋1)，则P(x，－x2＋2x＋3)．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ＝－x2＋x＋2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC＝－(x－)2＋，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值； 　　方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q(x，x＋1)，则P(x，－x2＋2x＋3)．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC＝S△APH＋S直角梯形PHGC－S△AGC＝－(x－)2＋，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值； 　　解答：解：(1)由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)及C(2，3)得， 　　， 　　解得， 　　故抛物线为y＝－x2＋2x＋3 　　又设直线为y＝kx＋n过点A(－1，0)及C(2，3)得 　　， 　　解得 　　故直线AC为y＝x＋1； 　　(2)作N点关于直线x＝3的对称点，则(6，3)，由(1)得D(1，4)， 　　故直线D的函数关系式为y＝－x＋， 　　当M(3，m)在直线D上时，MN＋MD的值最小， 　　则m＝－×＝； 　　(3)由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2) 　　∵点E在直线AC上， 　　设E(x，x＋1)， 　　①当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 　　则F(x，x＋3)， 　　∵F在抛物线上， 　　∴x＋3＝－x2＋2x＋3， 　　解得，x＝0或x＝1(舍去) 　　∴E(0，1)； 　　②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方， 　　则F(x，x－1) 　　由F在抛物线上 　　∴x－1＝－x2＋2x＋3 　　解得x＝或x＝ 　　∴E(，)或(，) 　　综上，满足条件的点E为E(0，1)、(，)或(，)； 　　(4)方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1 　　设Q(x，x＋1)，则P(x，－x2＋2x＋3) 　　∴PQ＝(－x2＋2x＋3)－(x－1) 　　＝－x2＋x＋2 　　又∵S△APC＝S△APQ＋S△CPQ＝PQ·AG 　　＝(－x2＋x＋2)×3 　　＝－(x－)2＋ 　　∴面积的最大值为． 　　方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2， 　　设Q(x，x＋1)，则P(x，－x2＋2x＋3) 　　又∵S△APC＝S△APH＋S直角梯形PHGC－S△AGC＝(x＋1)(－x2＋2x＋3)＋(－x2＋2x＋3＋3)(2－x)－×3×3 　　＝－x2＋x＋3 　　＝－(x－)2＋ 　　∴△APC的面积的最大值为． 　　点评：本题考查了二次函数综合题．解答(3)题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．

提示：

考点：二次函数综合题．