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4.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B,在直线 AB上截取BB1=AB,过点B1分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A1、C1,得到矩形OA1B1C1;在直线 AB上截取B1B2=BB1,过点B2分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A2、C2,得到矩形OA2B2C2;在直线AB上截取B2B3=B1B2,过点B3分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A3、C3,得到矩形OA3B3C3;…;则点B1的坐标是(1,2);第3个矩形OA3B3C3的面积是12;第n个矩形OAnBnCn的面积是n2+n(用含n的式子表示,n是正整数).

分析 先求出A、B两点的坐标,再设B1(a,a+1),B2(b,b+1),B3(c,c+1),再求出a、b、c的值,利用矩形的面积公式得出其面积,找出规律即可.

解答 解:∵一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B,
∴A(-1,0),B(0,1),
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+(-1)^{2}}$=$\sqrt{2}$.
设B1(a,a+1),B2(b,b+1),B3(c,c+1),
∵BB1=AB,
∴a2+(a+1-1)2=2,解得a1=1,a2=-1(舍去),
∴B1(1,2),
同理可得,B2(2,3),B3(3,4),
∴S矩形OA3B3C3=3×4=12,
∴S矩形OAnBnCn=n(n+1)=n2+n.
故答案为:(1,2),12,n(n+1)或n2+n.

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,根据题意得出B1,B2,B3的坐标,找出规律是解答此题的关键.

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