Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B，在直线 AB上截取BB₁=AB，过点B₁分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A₁、C₁，得到矩形OA₁B₁C₁；在直线 AB上截取B₁B₂=BB₁，过点B₂分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A₂、C₂，得到矩形OA₂B₂C₂；在直线AB上截取B₂B₃=B₁B₂，过点B₃分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A₃、C₃，得到矩形OA₃B₃C₃；…；则点B₁的坐标是（1，2）；第3个矩形OA₃B₃C₃的面积是12；第n个矩形OA_nB_nC_n的面积是n²+n（用含n的式子表示，n是正整数）．

Answer 1

分析 先求出A、B两点的坐标，再设B₁（a，a+1），B₂（b，b+1），B₃（c，c+1），再求出a、b、c的值，利用矩形的面积公式得出其面积，找出规律即可．

解答 解：∵一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B，
∴A（-1，0），B（0，1），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
设B₁（a，a+1），B₂（b，b+1），B₃（c，c+1），
∵BB₁=AB，
∴a²+（a+1-1）²=2，解得a₁=1，a₂=-1（舍去），
∴B₁（1，2），
同理可得，B₂（2，3），B₃（3，4），
∴S_{矩形OA3B3C3}=3×4=12，
∴S_{矩形OAnBnCn}=n（n+1）=n²+n．
故答案为：（1，2），12，n（n+1）或n²+n．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出B₁，B₂，B₃的坐标，找出规律是解答此题的关键．