Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C是⊙O上异于点A的一点，且PC＝PA．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求∠P的度数及PA的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）∠P＝60°， PA＝3．

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，再结合已知条件求得∠PCO＝∠PAB＝90°，从而得出PC⊥OC，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连接BC，推出△PAC是等边三角形，得到∠P＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

（1）连接OC，∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAB＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵PC＝PA，

∴∠PAC＝∠PCA，

∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝∠PAC+∠OAC＝∠PAB＝90°，

∴PC⊥OC，，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠PAC＝60°，

∵PC＝PA，

∴△PAC是等边三角形，

∴∠P＝60°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝30°，AB＝6，

∴AC＝ABcos30°=＝

∴PA＝AC＝AB＝．