Question

抛物线的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么，k=_________．

 

Answer 1

【答案】

3

【解析】

试题分析：根据抛物线y=x²-k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．

∵抛物线y=x²-k的顶点为P，

∴P点的坐标为：（0，-k），∴PO=K，

∵抛物线y=x²-k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，

∴OA=OB，∠OPB=30°，

∴tan30°=，

∴，

∴点B的坐标为：（，0），点B在抛物线y=x²-k上，

∴将B点代入y=x²-k，得：

0=（）²-k，

整理得：，

解方程得：k₁=0（不合题意舍去），k₂=3．

故答案为：3．

考点：此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法

点评：解决此类题目要熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，以及正三角形的性质和锐角三角函数求值问题等知识，求出A或B点的坐标进而代入二次函数解析式是解决问题的关键．