Question

【题目】对实数a，b，定义运算“*”为：a*b＝

（1）求函数y＝x*（2x﹣1）的解析式；

（2）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）在函数y＝x*（2x﹣1）的图象上，且A、B两点关于坐标原点成中心对称，求点A的坐标；

（3）关于x的方程x*（2x﹣1）＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，设t＝x1+2x2+x3+x1x2x3，则t的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（﹣1，﹣2）；（3）﹣5+＜t＜-3

【解析】

（1）根据新定义的运算的法则计算即可；

（2）由函数的图象和A,B两点关于原点中心对称，可知A点的横坐标为-1，再代入y=x2+2x﹣1中即可求出A的坐标；

（3）根据图象分别求出三个实数根的取值范围，然后利用图象和根与系数的关系对t进行化简即可得出t的取值范围.

（1）当x≥2x﹣1时，即x≤1时，x*（2x﹣1）＝x2+2x﹣1，

当x＜2x﹣1时，即x＞1时，x*（2x﹣1）＝；

∴

（2）∵函数y＝x*（2x﹣1）的图象由抛物线，反比例函数各一部分构成，

又∵A、B两点关于坐标原点成中心对称，

∴ 结合图象得x2＝1，

∴

当时，

∴A（﹣1，﹣2）；

（3）当x2+2x﹣1＝0时，解得

由图象可知，x1＜﹣1﹣，﹣1+＜ x2＜1，x3＞1，

x2+2x﹣1＝m，则 , ＝﹣m﹣1，

＝m，则x3＝，

∴t＝x1+2x2+x3+x1x2x3＝﹣2+x2++（﹣m﹣1）＝x2-4，

∵﹣1+＜ x2＜1

∴﹣5+＜t＜-3，

故答案为﹣5+＜t＜-3．