Question

（2004•郑州）如图，B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆．过B作BD⊥AC，与较大半圆相交于点D，以BD为直径的圆交两个较小半圆于E、F．
求证：（1）四边形BEDF是矩形；（2）直线EF是以AB、BC为直径的两个半圆的公切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，进行证明；
（2）连接两个半圆的圆心和点F，E；根据切线的判定定理进行证明；由同圆的半径相等和等边对等角，证明和已知的直角∠ABD相等即可．
解答：证明：（1）设圆的圆心是O．
∵OB=OD=OE=OF，
∴四边形BEDF是矩形；

（2）设两个半圆的圆心分别是M，N．
连接MF，NE，BF，BE．
∵MF=MB，OF=OB，
∴∠BFM=∠FBM，∠OFB=∠OBF．
∴∠MFO=∠MBO=90°．
则EF是⊙M的切线．
同理可以证明EF是⊙N的切线．
所以直线EF是以AB、BC为直径的两个半圆的公切线．
点评：掌握矩形的判定方法、切线的判定方法．