Question

设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．

Answer 1

分析：设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，得x₁=

c-1

a-b

，同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），再根据韦达定理即可求解．

解答：解：设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，两式相减，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=

c-1

a-b

，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），
∵x₂=

1

x1

，
∴

1

x1

是第一个方程的根，
∵x₁与

1

x1

是方程x₁²+ax₁+1=0的两根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x₂-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x₂=1，从而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
所以a+b+c=-3．

点评：本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解，属于基础题，关键是根据韦达定理解题．