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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，直线y=
    1
    2
    x+
    		5
    与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．
    （1）求点D的坐标；
    （2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；
    （3）若以动点为E圆心，以2
    		5
    为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=
    1
    8
    ？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．
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    分析：现根据直线y=
    1
    2
    x+
    		5
    与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，进而再求出OD的长度；然后根据需要作出恰当的辅助线，再结合题意对题目进行分析．
    解答：精英家教网解：（1）由题意知A（-2
    		5
    ，0）B（0，
    		5
    ），
    ∴OA=2
    		5
    ，OB=
    		5
    ，
    ∴AB=
    		(2
    		5
    )    2    +(
    		5
    )    2
    =5，
    ∵OD⊥AB，
    ∴
    1
    2
    OA•OB=
    1
    2
    AB•OD，
    ∴OD=
    2
    		5
    ×
    		5
    5
    =2．
    过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
    ∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
    ∴∠ODH=∠BAO，
    ∴tan∠ODH=tan∠BAO=
    1
    2
    ，
    ∴DH=2OH．
    设OH=a，则DH=2a．
    ∴a2+4a2=4，
    ∴a=
    2
    		5
    5
    ．
    ∴OH=
    2
    		5
    5
    ，DH=
    4
    		5
    5
    ．
    ∴D（-
    2
    		5
    5
    ，
    4
    		5
    5
    ）；

    （2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
    ∵四边形DFB′G是平行四边形，
    ∴DF∥B′G，
    ∴∠1=∠A′．
    又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
    ∴∠BAO=∠2．
    ∵∠BAO=∠A′，
    ∴∠1=∠2，
    ∴DM=OM．（1分）精英家教网
    ∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
    ∴∠3=∠4，
    ∴BM=DM，
    ∴BM=OM，
    ∴点M是OB中点，
    ∴M（0，
    		5
    2
    ）．
    设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
    把M（0，
    		5
    2
    ）D（-
    2
    		5
    5
    ，
    4
    		5
    5
    ）代入y=kx+b，
    得
    		5
    2
    =b
    4
    		5
    5
    =-
    2
    		5
    5
    k+b
    ，解得
    k=-
    3
    4
    b=
    		5
    2
    ．
    ∴线段DE所在直线的解析式为y=-
    3
    4
    x+
    		5
    2
    ；

    （3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
    ∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2
    		5
    ，
    ∴△AOD≌△A′OK，
    ∴OK=2，
    ∴A′K=4，
    ∴A′（-2，4）．
    过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
    ∴B′（2，1）．
    设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．
    则
    1=2k1+b1
    4=-2k1+b1
    ，解得
    k1=-
    3
    4
    b1=
    5
    2
    ．
    ∴直线A′B′的解析式为y=-
    3
    4
    x+
    5
    2
    ．
    ∴N（
    10
    3
    ，0），
    ∴KN=
    16
    3
    ，
    ∴A’N=
    		A′K2+KN2
    =
    20
    3
    ．
    当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．
    ∵tan∠A’NK=
    A′K
    KN
    =
    3
    4
    ，
    ∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．
    又∵tan∠E1A’B’=
    1
    8
    ，
    ∴A’Q1=24m，
    ∴28m=
    20
    3
    ，
    ∴m=
    5
    21
    ，
    ∴E1N=
    25
    21
    ，
    ∴OE1=ON-E1N=
    15
    7
    ，此时t=
    15
    7
    ．
    过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．
    ∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，
    ∴
    E1S1
    OE1
    =
    A′K
    OA′
    ，
    ∴E1S1=
    4
    2
    		5
    ×
    15
    7
    =
    6
    		5
    7
    ．精英家教网
    ∵⊙E的半径为2
    		5
    ，而
    6
    		5
    7
    ＜2
    		5
    ，
    ∴⊙E1与直线A’O相交．
    当E点在N点右侧点E2位置时，
    过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．
    同理OE2=5，此时t=5．
    过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．
    同理E2S2=
    4
    2
    		5
    ×5    =2
    		5
    ．
    ∵⊙E的半径为2
    		5
    ，
    ∴⊙E2与直线A′O相切．
    ∴当t=
    15
    7
    或t=5时，tan∠EA′B′=
    1
    8
    ；
    当t=
    15
    7
    时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．
    点评：解决较复杂的几何问题，作出合适的辅助线是解决问题的一个关键，同时要熟记一些定理或推论．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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