如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交点B．

（1）点B的坐标为______．
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①设△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）将点A（2，4）代入y=-x+b，
得4=-2+b，解得b=6，
∴y=-x+6，
当y=0时，x=6，
∴点B的坐标为（6，0）．

（2）①设直线y=-x+6与y轴交于点D，则D（0，6），

∵B（6，0），
∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°．
过点A（2，4）作AN⊥OB于N，则AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4，
∴当点P到达点C时，点M到达点N．
分两种情况讨论：
（i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图1．
∵OP=t，BM=QM=t，
∴PQ∥OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t，
∴S= $\text{[math]}$ PQ•CP= $\text{[math]}$ （6-t）（4-t）= $\text{[math]}$ t²-5t+12；

（ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图2，延长MQ交AC于点E．
∵OC+CP=t，BM=t，
∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t．
∵tan∠AON= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴QM=12-2t，
∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8，
∴S= $\text{[math]}$ AP•QE= $\text{[math]}$ （6-t）（2t-8）=-t²+10t-24．
综上可知，S= $\text{[math]}$ ；

②存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，理由如下：
分两种情况讨论：
（i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图3．
∵S_△MPQ= $\text{[math]}$ PQ•QM= $\text{[math]}$ （6-t）t=- $\text{[math]}$ t²+3t，S= $\text{[math]}$ t²-5t+12，
∴- $\text{[math]}$ t²+3t= $\text{[math]}$ t²-5t+12，
整理，得t²-8t+12=0，
解得t₁=2，t₂=6（不合题意舍去）；
（ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图4．

∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|，
∴S_△MPQ= $\text{[math]}$ QM•PE= $\text{[math]}$ （12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|，
又∵S= $\text{[math]}$ AP•QE= $\text{[math]}$ （6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4），
∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4），
∵t=6时，M与Q重合，不合题意舍去，
∴10-2t=±（t-4），
当10-2t=t-4时，t= $\text{[math]}$ ；
当10-2t=-（t-4）时，t=6舍去．
综上可知，存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，此时t的值为2或 $\text{[math]}$ ．
故答案为（6，0）．
分析：（1）先将点A（2，4）代入y=-x+b，运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值，即可得到与x轴交点B的坐标；
（2）①先求出直线AB与y轴交点D的坐标，由B、D两点的坐标，可知△OBD是等腰直角三角形，再过点A作AN⊥OB于N，可得AN=OC=4，BN=AN=4，则当点P到达点C时，点M到达点N，所以分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，用含t的代数式分别表示PQ、CP，再根据S= $\text{[math]}$ PQ•CP即可求解；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，延长MQ交AC于点E，用含t的代数式分别表示AP、QE，再根据S= $\text{[math]}$ AP•QE即可求解；
②分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，先由三角形面积公式求出S_△MPQ=- $\text{[math]}$ t²+3t，再根据S_△MPQ=S= $\text{[math]}$ t²-5t+12列出方程，解方程即可；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，先由三角形面积公式求出S_△MPQ=（6-t）|10-2t|，再根据S_△MPQ=S=（6-t）（t-4），列出方程，解方程即可．
点评：本题是一次函数的综合题型，主要考查了运用待定系数法求直线的解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，三角形的面积，要注意（2）中，要根据P与Q点的不同位置进行分类求解，本题难度适中．

练习册系列答案

宏翔文化3年中考2年模拟1年预测系列答案

初中毕业生升学模拟考试系列答案

过好寒假每一天系列答案

寒假作业中国地图出版社系列答案

中考复习攻略南京师范大学出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且

，求这时点P的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=

图象上一点，PA=OA，S_△PAO=10，则反比例函数y=

的解析式为（　　）

A．y=

B．y=

-8

C．y=

-12

D．y=

-16

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，

∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学