Question

如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．

（1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：

相似形综合题．

分析：

（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；

（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；

（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．

解答：

解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，

∴∠AHB=90°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=3．

∵∠AHB=90°，

∴BH=BC=

在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AH=．

∴S_△ABC==；

（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S_△ADE．

作AG⊥DE于G，

∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，

∴DG=x，AG=x，

∴y==x²，

∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∴x=1.5时，y_最大=，

如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，

∵AD=x，

∴BD=DM=3﹣x，

∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，

∴MG=（3﹣x），

∴y=，

=﹣；

（3），如图4，∵y=﹣；

∴y=﹣（x²﹣4x）﹣，

y=﹣（x﹣2）²+，

∵a=﹣＜0，开口向下，

∴x=2时，y_最大=，

∵＞，

∴y最大时，x=2，

∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．

∴DO=OE=1，

∴DM=DO．

∵∠MDO=60°，

∴△MDO是等边三角形，

∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．

∴MO=OE，∠MOE=120°，

∴∠OME=30°，

∴∠DME=90°，

∴DE是直径，

S_⊙O=π×1²=π．

点评：

本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．